この待ち行列はソフトウェア開発技術者試験の勉強で始めて知ったような気がします。午前問題であればいくつかの公式を覚えてしまえばそれで終わりなのですが、これが午後問題として出題された場合は歯が立たないのが現状です。なんせ丸暗記に近い状況なのですから。この際、不得意分野（嫌っている分野）を徹底的に勉強することで、逆に得意分野とならないかと、、無謀な挑戦を始めました。

１、Ｍ／Ｍ／１行列ってなに

お客がどのようにやってきて、どのようなサービスを受け、待ち時間はどうなるのか。あんまし興味がないので、何度やっても覚えられないなぁ。 Ｍ／Ｍ／１には次の条件がつけられている。 ・到着順にサービスを提供する ・割り込みはない ・客が立ち去ることはない ボアソン分布と指数分布 ボアソン分布 単位時間あたりに到着する客の数 指数分布 サービス時間、到着の時間間隔

２、Ｍ／Ｍ／１行列（待ち行列）でどうしても記憶しなければならないこと？

覚える必要がある公式は次の程度かな。理屈を理解してから覚えるのも記憶に残る覚え方ですが、時間を意識しながらの試験では、覚えてしまった方が有利です。 平均処理率 単位あたりの平均処理率 （何件処理できるか） μ：ﾐｭｰ 平均到着率 単位時間あたりの平均到着者数（何件くるのか） λ:ﾗﾑﾀﾞ 平均処理時間 平均サービス時間 Ｔs＝１／μ 平均到着間隔 到着する間隔（え！！） １／λ 利用率 サービス窓口が処理中である確立（単位：アーラン） ρ＝λ／μ= 　＝λ×Ｔs ρ：ﾛｰ ・一般的には、０＜ρ＜１となり、λ＜μで待ち行列が際限なくおおきくならない。したがって、待ち行列では、常にρ＜１になります。 ・逆にρ＞１ということは、処理能力を超えているということです。 平均滞在数（Ｌｗ） 待ち行列内に、処理も含めた滞在数の平均値 Lw＝ρ／（１−ρ） 平均滞在数（Ｌｑ） 待ち行列内に、処理を含めない滞在数の平均値 Lｑ＝ρ^2／（１−ρ） 平均待ち時間 到着してから、処理が開始されるまでの平均時間 Ｗｑ＝Ｌｗ×Ｔs＝ρ／（１−ρ）×Ｔs 平均応対（応答）時間 自分自身のサービスを受ける時間＋平均待ち時間 Ｗｗ＝Ｗｑ＋Ｔs ＝Ｗｑ＋１／μ ＝１／（１−ρ）×Ｔs

３、これだけ知っていればもう安心？、問題を解いてみよう。

問１　Ｍ／Ｍ／1の待ち行列モデルに関して、正しい記述はどれか。 　ア　一定時間に到着する客の数は指数分布に従う。 　イ　客が立ち去ることがある。 　ウ　サービス時間は指数分布に従う。 　エ　待ち行列の長さに制限がある。 　オ　窓口は複数個のことがある。

答え ウ

問２　待ち行列理論において、客の到着がランダムであるとき、ボアソン到着又は指数分布に従うという。ある客が到着してするまでの時間間隔の確立分布の特徴を表すグラフはどれか。（H10,1k,53） 答え ウ

問３　トランザクションの平均到着間隔が１／λ、平均サービス時間１／μのオンラインシステムにおいて、トランザクションの平均到着間隔が０．５／λ、平均サービス時間が０．５／μになったときの説明として、適切な記述を二つ選べ（H6,AN,24） 　ア　サービス時間が短縮したので、システムの利用率は減少する。 　イ　到着間隔が短くなったが、系内の待ちトランザクション数は変化しない。 　ウ　到着間隔が短くなったが、系内の待ちトランザクション数は増える。 　エ　到着間隔とサービス時間が短くなったので、平均応答時間は減少する。 　オ　到着時間は短くなったが、サービス時間も短くなったので、平均応答時間は変化しない。 答え イ、エ 　　 　トランザクション数→平均滞在数、平均応答時間

問４　オンラインリアルタイムシステムにおいて、トランザクションの到着や処理が、Ｍ／Ｍ／１モデルの待ち行列を想定できるものとするとき、プロセッサの利用率（Ｘ）、応答時間（Ｙ）の関係をグラフに表したものはどれか。（H11,1ｋ,5）

答え イ 　　 　覚えてしまえば終わりだが、実に奥行きの深い問題です。

問５　ある銀行の支店に自動支払機が１台設置してある。この支店は、自動支払機の利用率の増加に伴い、もう１台自動支払機を増設することにした。自動支払機のサービス時間をＴｓ、増設前の自動支払機の利用率をρとするとき、自動支払機の増設後の平均待ち時間として正しいのはどれか。ここで、待ち時間はＭ/Ｍ/1の待ち行列に従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まないものとする。また、自動支払機の増設後は、２台の自動支払機は均等に利用されるものとする。 ア　（２ρ／１−ρ）×Ｔｓ　　イ　（ρ／２（１−ρ））×Ｔｓ　　ウ　（２ρ／１−２ρ）×Ｔｓ　　エ　（ρ／２−ρ）×Ｔｓ

答え エ 　　 　２台になることによって、何が変化するのか？選択肢はそれほどない筈

問６　平均２件／秒の割合で発生するトランザクションを、１件当たり平均０．３秒で処理するシステムがある。トランザクションの発生及び処理がＭ／Ｍ／１待ち行列モデルに従うものとすると、システムの平均応答時間は何ミリ秒か ア　３００　　イ　４５０　　ウ　７５０　　エ　１，５００

答え ウ 　　 　最もオーソドックスな問題。平均応答時間とういう単語に気おつける必要があります。

問７　あるレストランでは、１時間に平均６人のお客さんがボアソン分布に従って来店する。調理人は１人前の調理に要する時間は平均８分で、シス分布に従っているものとする。注文順に調理して、注文してから料理が出てくるまでの平均待ち時間は何分か。 ア　１６　　イ　２４　　ウ　３２　　エ　４０

エ 　　 　平均待ち時間という言葉に惑わされますが、文章をよく読むと、平均応答時間と理解できるはずです。

問８　１０台のパソコンで１台のプリンタを共有して使用しているシステムがある。このプリンタを新機種に交換して速度を２倍にしたとき、印刷を要求してから終了するまでの平均応答時間（ＴＡＴ）に関する記述として、適切なものはどれか。ここで、印刷はボアソン分布に、正味の印刷時間は指数分布に従うものとし、印刷データ転送時間などは無視するものとする。 ア　平均要求件数が２倍のとき、ＴＡＴは１／２になる。 イ　平均要求件数が２倍のとき、ＴＡＴは変わらない。 ウ　平均要求件数が４倍のとき、ＴＡＴは変わらない。 エ　平均要求件数が同じとき、ＴＡＴは１／３になる。 オ　平均要求件数が同じとき、ＴＡＴは１／４になる。

ア 　　 　ここでもプリンタの速度を２倍にすると、何が改善されるのかを考えましょう。勿論、ＴＡＴの公式は覚えている必要があります。

問９　図に示すシステムにおいて、ＴＣ（端末装置）からみた平均応答時間は、何ミリ秒か。ここで、電文はＴＣからランダムに発生し、電文長分布は指数分布であり、ＣＰＵ利用率は十分に余裕があるものとする。 ・平均電文長（上り、下り）：１２０バイト ・回線種別：全二重、９６００bps ・回線利用率：（上り、下り）：２５％ ・ホスト内処理時間：７００ミリ秒 ア　９００　　イ　９３３　　ウ　９６７　　エ　１，０３３

ウ 　　 　解答によれば、回線利用率＝ρということであるが、少し無理があるのでは。誰かご指導をください。

　　　

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